Question

某高校的自主招生考试数学试卷共有8道选择题，每个选择题都给了4个选项（其中有且仅有一个是正确的）．评分标准规定：每题只选1项，答对得5分，不答或答错得0分．某考生每道题都给出了答案，已确定有4道题的答案是正确的，而其余的题中，有两道题每题都可判断其中两个选项是错误的，有一道题可以判断其中一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只能乱猜．对于这8道选择题，试求：
（1）该考生得分为40分的概率；
（2）该考生所得分数ξ的分布列及数学期望Eξ．

Answer

（1）要得40分，8道选择题必须全做对，在其余四道题中，每个题答对的概率分别为 ，，，．
（2）依题意，该考生得分ξ的取值是20，25，30，35，40，求出得分ξ的取每个值的概率，列出分布列，从而求得
所得分数的数学期望．
【解析】
（1）要得40分，8道选择题必须全做对，在其余四道题中，有两道题答对的概率为，有一道题答对的概率为，还有一道题答对的概率为，所以，得40分的概率为  ．
（2）依题意，该考生得分ξ的取值是20，25，30，35，40，得分为20表示只做对了四道题，其余各题都做错，
故所求概率为；
同样可求得得分为25分的概率为；
得分为30分的概率为；
得分为35分的概率为；
得分为40分的概率为．
于是ξ的分布列为：

ξ 20 25 30 35 40
P

故．
该考生所得分数的数学期望为．