Question

如图，多面体EF-ABCD中，ABCD是梯形，AB∥CD，ACFE是矩形，面ACFE⊥面ABCD，AD=DC=CB=AE=a，∠ACB=．
（1）若M是棱EF上一点，AM∥平面BDF，求EM；
（2）求二面角B-EF-D的平面角的余弦值．

Answer

（1）连接BD，记AC∩BD=O，在梯形ABCD中，由题意得∠ACD=∠CAB=∠DAC，由角之间的关系可得∠DAC=，从而∠CBO=，又∠ACB=，CB=a，所以CO=，由AM∥平面BDF得AM∥FO．
（2）建立空间直角坐标系，利用向量的运算求出平面DEF的一个法向量为，平面BEF的一个法向量为，进而由两个法向量求出二面角余弦值的大小．
解（1）连接BD，记AC∩BD=O，在梯形ABCD中，
因为AD=DC=CB=a，AB∥CD，
所以∠ACD=∠CAB=∠DAC，
π=∠ABC+∠BCD=∠DAB+∠ACD+ACB=3∠DAC+，∠DAC=，从而∠CBO=，
又因为∠ACB=，CB=a，所以CO=，
连接FO，由AM∥平面BDF得AM∥FO，
因为ACFE是矩形，所以EM=CO=．
（2）以C为原点，CA、CB、CF分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则C（0，0，0），，B（0，a，0），，F（0，0，a），，
设平面DEF的一个法向量为，
则有，即，
解得，
同理可得平面BEF的一个法向量为，
观察知二面角B-EF-D的平面角为锐角，所以其余弦值为．