Question

设函数f（x）=（1+x）²-2ln（1+x）．
（Ⅰ）求f （x）的单调区间；
（Ⅱ）若当时，不等式f （x）＜m恒成立，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）若关于x的方程f（x）=x²+x+a在区间[0，2]上恰好有两个相异的实根，求实数a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）已知f（x）=（1+x）2-2ln（1+x）求出函数的导数f′（x），然后令f′（x）=0，解出函数的极值点，最后根据导数判断函数的单调性，从而求解；
（Ⅱ）由题意当时，不等式f （x）＜m恒成立，只要求出f（x）的最大值小于m就可以了，从而求出实数m的取值范围；
（Ⅲ）已知方程f（x）=x2+x+a在区间[0，2]上恰好有两个相异的实根，整理移项得方程g（x）=x-a+1-2ln（1+x）=0在区间[0，2]上恰好有两个相异的实根，利用函数的增减性得根，于是有，从而求出实数a的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）函数的定义域为（-1，+∞）．（1分）
∵，
由f′（x）＞0，得x＞0；由f′（x）＜0，得-1＜x＜0．（3分）
∴f（x）的递增区间是（0，+∞），递减区间是（-1，0）．（4分）
（Ⅱ）∵由，得x=0，x=-2（舍去）
由（Ⅰ）知f（x）在上递减，在[0，e-1]上递增．
高三数学（理科）答案第3页（共6页）
又，f（e-1）=e2-2，且．
∴当时，f（x）的最大值为e2-2．
故当m＞e2-2时，不等式f（x）＜m恒成立．（9分）
（Ⅲ）方程f（x）=x2+x+a，x-a+1-2ln（1+x）=0．
记g（x）=x-a+1-2ln（1+x），
∵，
由g′（x）＞0，得x＞1或x＜-1（舍去）．由g′（x）＜0，得-1＜x＜1．
∴g（x）在[0，1]上递减，在[1，2]上递增．
为使方程f（x）=x2+x+a在区间[0，2]上恰好有两个相异的实根，
只须g（x）=0在[0，1]和（1，2]上各有一个实数根，于是有
∵2-2ln2＜3-2ln3，
∴实数a的取值范围是2-2ln2＜a≤3-2ln3．（14分）