Question

已知f（x）=x³-x²-2x+c，常数c是实数．
（I）当f（x）取得极小值时，求实数x的值；
（II）当-1≤x≤2时，求f（x）的最大值．
（II）当-1≤x≤2时，不等式f（x）＜c²恒成立，求c的取值范围．

Answer

（I）由题意得f′（x）=3x2-x-2所以方程f′（x）=3x2-x-2=0的两个根为-和1，又因为当，当x＞1时，f′（x）＞0，所以可得到答案．
（II）f′（x）=3x2-x-2∵当x∈[-1，-）时，f′（x）＞0，当x时，f′（x）＜0，当x∈（1，2]时，f′（x）＞0，由导数的几何意义得到函数的单调性，通过函数的单调性可得当-≤x≤2时，f（x）的最大值只可能在x=-或者在x=2处取到，可得f（2）＞f（-），所以f（x）的最大值为f（2）=2+c．
（III）当-1≤x≤2时，f（x）＜c2恒成立的充要条件是f（x）最大值＜c2，所以f（2）＜c2即c2＞2+c．
【解析】
（I）∵f（x）=x3-x2-2x+c
∴f′（x）=3x2-x-2
∴方程f′（x）=3x2-x-2=0的两个根为-和1，
∵当
当x＞1时，f′（x）＞0，
∴当x=1时，f（x）取得极小值．
 （II）由（I）知：f′（x）=3x2-x-2
∵当x∈[-1，-）时，f′（x）＞0，
当x时，f′（x）＜0，
当x∈（1，2]时，f′（x）＞0，
∴当x∈[-1，-）时，f（x）是增函数．
当x时，f（x）是减函数．
当x∈（1，2]时，f（x）是增函数．
所以当-≤x≤2时，f（x）的最大值只可能在x=-或者在x=2处取到．
又因为f（）=，f（2）=2+c
所以f（2）＞f（-）
所以当-1≤x≤2时，f（x）的最大值为f（2）=2+c．
（III）当-1≤x≤2时，f（x）＜c2恒成立的充要条件是f（x）最大值＜c2
所以f（2）＜c2即c2＞2+c，解得c＜-1或c＞2．
所以c的取值范围是（-∞，-1）∪（2，+∞）．