Question

已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的x个红球和4个黑球．现在先从甲盒内一次随机取2个球，再从乙盒内一次随机取出2个球，甲盒内每个球被取到的概率相等，乙盒内每个球被取到的概率也相等．已知取出的4个球都是黑球的概率．
（I）求乙盒内红球的个数x；
（II）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望．

Answer

（I）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B．由于事件A，B相互独立，故用概率的乘法公式计算取出的4个球均为黑球的概率；
（II）由题意ξ可能的取值为0，1，2，3，再由概率的乘法公式求出取各个值时的概率，列出分布列由公式计算出数学期望即可．
【解析】
（I）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A，
“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B．
由于事件A，B相互独立，所以取出的4个球均为黑球的概率为
P（AB）=P（A）P（B）=   
依题设=，
即，∴（x-2）（x-9）=0，∴x=2或x=-9（舍）
故乙盒内红球的个数为2．  
（II）ξ可能的取值为0，1，2，3由（I）知P（ξ=0）=，
P（ξ=1）==，
P（ξ=3）=='
P（ξ=2）=1-P（ξ=3）-P（ξ=1）-（ξ=0）=

ξ的分布列为

ξ 1 2 3
P

ξ的数学期望Eξ=0×+1×+2×+3×=