Question

已知双曲线S的中心是原点O，离心率为，抛物线y²=2x的焦点是双曲线S的一个焦点，直线l：y=kx+1与双曲线S交于A、B两个不同点．
（I）求双曲线S的方程；
（II）当以AB为直径的圆经过原点O时，求实数k的值．

Answer

（I）设出双曲线S的方程，c为它的半焦距，根据已知得 又b2=c2-a2=1，可以求出a，b，c的数值．
（II）由题意得（4-k2）x2-2kx-2=0x2-2kx-2=0，当△＞0且4-k4≠0时，l与双曲线S有两个不同交点A，B．解得 ．设A（x1，y1）B（x2，y2）因为以AB为直径的圆经过原点O，得出 所以x1x2+y1y2=0．由根与系数的关系得x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1=0解得k=．
【解析】
（I）由题意设双曲线S的方程为 且c为它的半焦距，
根据已知得
∴
∵b2=c2-a2=1，∴b=1
所以双曲线S的方程为4x2-y2=1．
（II）由题意得 消去y得（4-k2）x2-2kx-2=0x2-2kx-2=0
当△＞0且4-k4≠0即4k2+8（4-k2）＞0且k≠±2时，
l与双曲线S有两个不同交点A，B
∴
设A（x1，y1）B（x2，y2）
∵以AB为直径的圆经过原点O，∴OA⊥OB，∴
∴x1x2+y1y2=0
∵，，y1=kx1+1，y2=kx2+1
∴x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1=0
∴
化简得k2=2
所以k=
经检验k=符合条件．
所以当以AB为直径的圆经过原点O时，实数k的值为 ．