Question

已知n是正整数，数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{na_n}的前n项和为T_n．对任何正整数n，等式S_n=-a_n+（n-3）都成立．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）求T_n；
（III）设A_n=2T_n，B_n=（2n+4）S_n+3，比较A_n与B_n的大小．

Answer

（I）先把n=1代入Sn=-an+（n-3）求出a1=-；再利用n≥2，an=Sn-Sn-1得到关于an=和an-1之间的递推关系式，得到数列为等比数列，从而求出数列{an}的通项公式；
（II）先将（I）求出an的通项代入nan中表示出Tn，求和时利用错位相减法，化简得到Tn；
（III）先求出Sn，再利用作差的方法求解．
【解析】
（I） 当n=1时，由的，
解得
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-[]
解得 ，即
因此，数列
∴，
即
∴数列．
（II）∵，
∴
令．
则．
上面两式相减：=，即．
∴=…8分            
 （III）∵Sn=-an+=，
∴
=…10分
∵当n=2或n=3时，的值最大，最大值为0，
∴An-Bn≤0．
因此，当n是正整数时，An≤Bn．…12分