Question

已知函数f（x）=cossinx（x∈R），给出下列四个命题：
①若f（x₁）=-f（x₂）则x₁=-x₂
②f（x）的最小正周期是2π
③在区间[]上是增函数；
④f（x）的图象关于直线x=
其中真命题是（ ）
A．①②④
B．①③
C．②③
D．③④

Answer

先根据二倍角公式将函数f（x）进行化简，根据正弦函数的性质和知判断①；根据最小正周期的求法可判断②；根据正弦函数的单调性可判断③；再由正弦函数的对称性可判断④．
【解析】
∵f（x）=cosxsinx=sin2x
若f（x1）=-f（x2），则sin2x1=-sin2x2=sin（-2x2）∴2x1=-2x2+2kπ时满足条件，即x1+x2=kπ可以，故①不正确；
T=，故②不正确；
令，得-，当k=0时，x∈[-，]f（x）是增函数，故③正确；
将x=代入函数f（x）得，f（）=-为最小值，故f（x）的图象关于直线x=对称，④正确．
故选D．