Question

已知数列{a_n}，a_n∈N^*，前n项和S_n=（a_n+2）²．
（1）求证：{a_n}是等差数列；
（2）若b_n=a_n-30，求数列{b_n}的前n项和的最小值．

Answer

本题考查数列的通项与其前n项和的关系、等差数列的证明、数列的求和等综合性问题．
（1）根据an+1=Sn+1-Sn及前n项和Sn=（an+2）2，可以得到（an+1+an）（an+1-an-4）=0，从而问题得证．
（2）由（1）可得数列{an}的通项公式，进而由bn=an-30得到数列{bn}的通项公式，然后可求数列{bn}的前n项和，再由此求其最小值，最小值有两种求法，其一是转化为二次函数的最值，其二是找出正负转折的项．
【解析】
（1）证明：∵an+1
=Sn+1-Sn
=（an+1+2）2-（an+2）2，
∴8an+1=（an+1+2）2-（an+2）2，
∴（an+1-2）2-（an+2）2=0，（an+1+an）（an+1-an-4）=0．
∵an∈N*，∴an+1+an≠0，
∴an+1-an-4=0．
即an+1-an=4，∴数列{an}是等差数列．
（2）由（1）知a1=S1=（a1+2），解得a1=2．∴an=4n-2，
bn=an-30=2n-31，（以下用两种方法求解）
法一：
由bn=2n-31可得：首项b1=-29，公差d=2
∴数列{bn}的前n项和sn=n2-30n=（n-15）2-225
∴当n=15时，sn=225为最小；
法二：
由得
≤n＜．∵n∈N*，∴n=15，
∴{an}前15项为负值，以后各项均为正值．
∴S5最小．又b1=-29，
∴S15==-225