Question

如图边长为2的正方形花园的一角是以A为中心，1为半径的扇形水池．现需在其余部分设计一个矩形草坪PNCQ，其中P是水池边上任意一点，点N、Q分别在边BC和CD上，设∠PAB为θ．
（I）用θ表示矩形草坪PNCQ的面积，并求其最小值；
（II）求点P到边BC和AB距离之比的最小值．

Answer

（I）先利用∠PAB为θ，|AP|=1⇒AM=COSθ，PM=sinθ，⇒矩形草坪PNCQ面积S=（2-cosθ）（2-sinθ），向下整理得-2+，再利用二次函数在闭区间上的最值求法即可求矩形草坪PNCQ的面积的最小值；
（II）先求得，再求其导函数，利用其导函数研究出原函数在给定区间上的单调性，进而求出其最小值．
【解析】
（I）因为∠PAB为θ，|AP|=1．
∴AM=COSθ，PM=sinθ，
PN=2-cosθ，PQ=2-sinθ，
∴矩形草坪PNCQ面积S=（2-cosθ）（2-sinθ）
=4-2（sinθ+cosθ）+sinθ•cosθ
=4-2（sinθ+cosθ）+
=-2sin（）+
=sin2（）-2sin（）+
=-2+．
∵θ∈[0，]，∴∈[]．sin（）∈[，1]．
∴当sin（）=1，即θ=时，面积有最小值此时s==．
故当，最小值为；（6分）
（II）∵
∴，令1-2cosθ=0⇒．

θ
-
↘
极小 +
↗

所以当时，（12分）