Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=2ⁿ，数列{b_n}满足b₁=-1，b_n+1=b_n+（2n-1）（n=1，2，3，…）．
（1）求数列{a_n}的通项a_n；
（2）求数列{b_n}的通项b_n；
（3）若，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer

（1）当n大于等于2时，根据Sn=2n，得到Sn-1=2n-1，两者相减即可得到an的通项公式，当n=1时，求出S1=a1=2，分两种情况n=1和n大于等于2写出数列{an}的通项an；
（2）分别令n=1，2，3，…，n列举出数列的各项，得到b2-b1=1，b3-b2=3，b4-b3=5，…，bn-bn-1=2n-3，以上各式相加后，利用等差数列的前n项和公式化简后，将b1=-1代入即可求出数列{bn}的通项bn；
（3）分两种情况n等于1和n大于等于2，把（1）和（2）中分别求出的两通项公式代入，得到数列{cn}的通项公式，列举出数列{cn}的前n项和Tn，两边同乘以2后，两等式相减后，利用等比数列的前n项和公式化简后，即可得到数列{cn}的前n项和Tn的通项公式．
【解析】
（1）∵Sn=2n，∴Sn-1=2n-1，（n≥2）．
∴an=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1（n≥2）．（2分）
当n=1时，21-1=1≠S1=a1=2，
∴（4分）

（2）∵bn+1=bn+（2n-1），
∴b2-b1=1，b3-b2=3，b4-b3=5，…，bn-bn-1=2n-3，
以上各式相加得．
∵b1=-1，∴bn=n2-2n．（8分）

（3）由题意得
∴Tn=-2+0×21+1×22+2×23+…+（n-2）×2n-1，
∴2Tn=-4+0×22+1×23+2×24+…+（n-2）×2n，
∴-Tn=2+22+23+…+2n-1-（n-2）×2n=
=2n-2-（n-2）×2n=-2-（n-3）×2n，
∴Tn=2+（n-3）×2n．（12分）．