Question

已知P点是双曲线上一点，F₁、F₂是它的左、右焦点，若|PF₂|=3|PF₁|，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．（1，2）
B．（2，+∞）
C．（1，2]
D．[2，+∞）

Answer

先根据双曲线定义可知|PF2|-|PF1|=2a进而根据|PF2|=3|PF1|，求得a=|PF1|，同时利用三角形中两边之和大于第三边的性质，推断出，|F1F2|＜|PF1|+|PF2|，进而求得a和c的不等式关系，分析当p为双曲线顶点时，=2且双曲线离心率大于1，最后综合答案可得．
解根据双曲线定义可知|PF2|-|PF1|=2a，即3|PF1|-|PF1|=2a．
∴a=|PF1|．|PF2|=3a
在△PF1F2中，|F1F2|＜|PF1|+|PF2|，
2c＜4|PF1||，c＜2|PF1|=2a，
∴＜2，
当p为双曲线顶点时，=2
又∵双曲线e＞1，
∴1＜e≤2
故选C