Question

如图，正方形ABCD的边长为2，PA⊥平面ABCD，DE∥PA，且PA=2DE=2，F是PC的中点．
（1）求证：EF∥平面ABCD；
（2）求证：平面PEC⊥平面PAC；
（3）求三棱锥P-ACE的体积V_P-ACE．

Answer

（1）连接BD交AC于O点，连接FO，可得，结合题中条件得到：四边形EFOD为平行四边形，所以EF∥OD，再根据线面平行的判定定理证明线面平行．
（2）由题意可得：PA⊥OD，OD⊥AC，即可得到OD⊥平面PAC，又EF∥OD，进而得到线面垂直，再结合面面垂直的判定定理证明面面垂直．
（3）求三棱锥P-ACE的体积，转化为E-PAC的体积，求出底面面积和高，即可求出体积．
【解析】
（1）连接BD交AC于O点，连接FO
∵F是PC的中点，O是AC的中点
∴，
又DE∥PA，且

∴FO∥ED且FO=ED
∴四边形EFOD为平行四边形
∴EF∥OD且EF⊄平面ABCD，OD⊆平面ABCD
∴EF∥平面ABCD；…（4分）
（2）∵PA⊥平面ABCD
∴PA⊥OD．
又OD⊥AC且PA∩AC=C
∴OD⊥平面PAC．
又EF∥OD，
∴EF⊥平面PAC，
又因为EF⊆平面PCE，
∴平面PEC⊥平面PAC…（8分）
（3）由题意可得：VP-ACE=VE-PAC，
由（2）可得EF⊥平面PAC，
因为四边形EFOD为平行四边形，
所以EF=0D=．
因为正方形ABCD的边长为2，PA⊥平面ABCD，且PA=2，
所以S△PAC=2．
所以VP-ACE=VE-PAC==．…（12分）