Question

已知双曲线的右焦点是F，右顶点是A，虚轴的上端点是B，且，∠BAF=120°．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过点P（0，4）的直线l交双曲线C于M、N两点，交x轴于点Q（点Q与双曲线C的顶点不重合），当，且时，求点Q的坐标．

Answer

（Ⅰ）由条件可知A，B，F的坐标根据和联立求得a和c，进而求得b．双曲线方程可得．
（Ⅱ）设l的方程，M和N的坐标，依题意可得Q的坐标，根据表示出x1和y1，把M代入双曲线方程整理后求得k，点Q的坐标可得．
【解析】
（Ⅰ）由条件知A（a，0），B（0，b）F（c，0）．
．①
．∴c=2a．②
解①，②得a=1，c=2．则b2=c2-a2=3．
故双曲线C的方程为．
（Ⅱ）由题意知直线l的斜率k存在且不等于零，
设l的方程为：．
∴．
∴．
∴
∵M（x1，y1）在双曲线C上，
∴．
∴．
∴．
同理．
若16-k2=0，则直线l过项点，不合题意，∴16-k2≠0
∴的两根
∴．
∴k2=9，此时△＞0，∴k=±3．
∴所求Q点的坐标为．