Question

已知函数f（x）=sinx（x≥0），g（x）=ax（x≥0）．
（I）若f（x）≤g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（II）当a取（I）中最小值时，求证：．

Answer

（Ⅰ） 由题意可得：令h（x）=f（x）-g（x）=sinx-ax（x≥0），所以h'（x）=cosx-a，再分别讨论a与1的大小，得到函数的单调性即可求出函数的最值，进而解决恒成立问题求出a的范围．
（Ⅱ）由题意可得：g（x）=x（x≥0），所以原不等式等价于（x≥0），设，再反复利用导数判断函数的单调性，进而得到函数H（x）的单调性，求出函数H（x）的最值即可证明恒成立问题即不等式成立．
【解析】
（Ⅰ） 由题意可得：令h（x）=f（x）-g（x）=sinx-ax（x≥0），
所以h'（x）=cosx-a．
若a≥1，h'（x）=cosx-a≤0，
所以h（x）=sinx-ax在区间[0，+∞）上单调递减，即h（x）≤h（0）=0，
所以sinx≤ax（x≥0）成立．       （3分）
若a＜1，存在，使得cosx=a，
所以x∈（0，x），h'（x）=cosx-a＞0，
所以h（x）=sinx-ax在区间（0，x）上单调递增，
所以存在x使得h（x）＞h（0）=0，即此时f（x）≤g（x）不恒成立，
所以a＜1不符合题意舍去．
综上，a≥1．         （5分）
（Ⅱ）由题意可得：a=1，所以g（x）=x（x≥0），
所以（x）-g（x）=sinx-x（x≥0），
所以原不等式等价于（x≥0），
设，所以．
令，所以G'（x）=sinx-x，
所以G'（x）=sinx-x≤0（x≥0），
所以在（0，+∞）上单调递减，（8分）
因此有：，
即，
所以单调递减，（10分）
所以，
所以（x≥0）恒成立，即（x≥0）．         （12分）