Question

已知为抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，点N（x，y）（y＞0）为其上一点，点M与点N关于x轴对称，直线l与抛物线交于异于M，N的A，B两点，且．
（I）求抛物线方程和N点坐标；
（II）判断直线l中，是否存在使得△MAB面积最小的直线l'，若存在，求出直线l'的方程和△MAB面积的最小值；若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）由题意知：p=1，x=2，y2=4，y＞0，得y=2，由此能求出抛物线方程和N点坐标．
（Ⅱ）由题意知直线的斜率不为0，设直线l的方程为x=ty+b（t∈R），联立方程得y2-2ty-2b=0，设两个交点，由，得b=2t+3，由此能求出当t=-2时S有最小值为，此时直线l'的方程为x+2y+1=0．
【解析】
（Ⅰ）由题意，
∴p=1，
所以抛物线方程为y2=2x．
，
x=2，y2=4，
∵y＞0，
∴y=2，
∴N（2，2）．（4分）
（Ⅱ）由题意知直线的斜率不为0，
设直线l的方程为x=ty+b（t∈R）
联立方程得y2-2ty-2b=0，
设两个交点（y1≠±2，y2≠±2）
∴，…（6分）
，
整理得b=2t+3…（8分）
此时△=4（t2+4t+6）＞0恒成立，
由此直线l的方程可化为x-3=t（y+2），
从而直线l过定点E（3，-2）…（9分）
因为M（2，-2），
所以M、E所在直线平行x轴
三角形MAB面积=，…（11分）
所以当t=-2时S有最小值为，
此时直线l'的方程为x+2y+1=0…（12分）