Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，E是棱CC₁上的动点，F是AB中点，AC=BC=2，
AA₁=4．
（Ⅰ）求证：CF⊥平面ABB₁；
（Ⅱ）若二面角A-EB₁-B的大小是45°，求CE的长．

Answer

（I）由直棱柱的结构特征可得BB1⊥平面ABC，进而由线面垂直的性质得到CF⊥BB1，进而由等腰三角形三线合一可得CF⊥AB，进而由线面垂直的判定定理得到CF⊥平面ABB1；
（Ⅱ）以C为坐标原点，射线CA，CB，CC1为x，y，z轴正半轴，建立空间直角坐标系C-xyz，设E（0，0，m），分别求出平面AEB1的法向量及平面EBB1的法向量，结合二面角A-EB1-B的大小是45°，构造关于m的方程，解方程求出m值，进而可得CE的长．
证明：（Ⅰ）∵三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，
∴BB1⊥平面ABC．
又∵CF⊂平面ABC，
∴CF⊥BB1．
∵∠ACB=90°，AC=BC=2，F是AB中点，
∴CF⊥AB．
又∵BB1∩AB=B，BB1⊂平面ABB1，AB⊂平面ABB1．
∴CF⊥平面ABB1．
【解析】
（Ⅱ）以C为坐标原点，射线CA，CB，CC1为x，y，z轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，
则C（0，0，0），A（2，0，0），B1（0，2，4）．
设E（0，0，m），平面AEB1的法向量，
则，．
且，．
于是
所以
取z=2，则
∵三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，
∴BB1⊥平面ABC．
又∵AC⊂平面ABC，
∴AC⊥BB1．
∵∠ACB=90°，
∴AC⊥BC．
∵BB1∩BC=B，
∴AC⊥平面ECBB1．
∴是平面EBB1的法向量，．
∵二面角A-EB1-B的大小是45°，
∴．
解得．
∴．