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已知F1(-2,0),F2(2,0),点P满足|PF1|-|PF2|=2,记点P...

已知F1(-2,0),F2(2,0),点P满足|PF1|-|PF2|=2,记点P的轨迹为E.
(1)求轨迹E的方程;
(2)若直线l过点F2且与轨迹E交于P、Q两点.无论直线l绕点F2怎样转动,在x轴上总存在定点M(m,0),使MP⊥MQ恒成立,求实数m的值.
(1)由条件知,点P的轨迹E是以F1、F2为焦点的双曲线右支,从而写出轨迹E的方程即可. (2)当直线l的斜率存在时,设直线方程为y=k(x-2),P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线的方程代入双曲线的方程,消去y得到关于x的一元二次方程,再结合根系数的关系利用向量垂直关系即可求得m值,从而解决问题. 【解析】 (1)由|PF1|-|PF2|=2<|F1F2|知,点P的轨迹E是以F1、F2为焦点的双曲线右支, 由c=2,2a=2,∴b2=3,故轨迹E的方程为. (2)当直线l的斜率存在时,设直线方程为y=k(x-2),P(x1,y1),Q(x2,y2), 与双曲线方程联立消y得(k2-3)x2-4k2x+4k2+3=0, ∴ 解得k2>3. ∵ =(x1-m)(x2-m)+k2(x1-2)(x2-2) =(k2+1)x1x2-(2k2+m)(x1+x2)+m2+4k2 = =.(7分) ∵MP⊥MQ,∴, 故得3(1-m2)+k2(m2-4m-5)=0对任意的k2>3恒成立, ∴,解得m=-1. ∴当m=-1时,MP⊥MQ. 当直线l的斜率不存在时,由P(2,3),Q(2,-3)及M(-1,0)知结论也成立, 综上,当m=-1时,MP⊥MQ.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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