Question

已知数列a_n满足
（1）求数列a_n的通项公式a_n；
（2）设，求数列b_n的前n项和S_n；
（3）设，数列c_n的前n项和为T_n．求证：对任意的．

Answer

（1）由题意知，所以，再由，知数列（n∈N*）是以3为首项，-2为公比的等比数列，由此可求出数列an的通项公式an．
（2）由题设知bn=（3×2n-1+1）2=9•4n-1+6•2n-1+1，所以
=3•4n+6•2n+n-9．
（3）由题意知，∴，，再由T1＜T2＜T3，知对任意的n∈N*，Tn．
【解析】
（1）∵，∴，
又∵，所以数列（n∈N*）是以3为首项，-2为公比的等比数列，
∴．
（2）bn=（3×2n-1+1）2
=9•4n-1+6•2n-1+1，
∴
=3•4n+6•2n+n-9．
（3）证明：由（1）知，∴，当n≥3时，则
=
又∵T1＜T2＜T3，
∴对任意的n∈N*，Tn．（12分）