Question

已知数列{a_n}满足a₁=-1，a_n+1-2a_n-3=0数列{b_n}满足b_n=log₂（a_n+3）．
（1）求{b_n}的通项公式；
（2）若数列{2ⁿ⁺¹b_n}的前n项的和为s_n，试比较s_n与8n²-4n的大小．

Answer

（1）由题意已知数列{an}满足a1=-1，an+1-2an-3=0先求出数列an}，在的有bn=log2（an+3）求出bn；
（2）有（1）可知数列2n+1bn通项公式，利用其通项公式选择求其和的方法求，并于8n2-4n进行比较大小．
【解析】
（1）由有an+1-2an-3=0，得：an+1+3=2（an+3），
∴an+3=（a1+3）2n-1=2n，
∴bn=log22n=n；
（2）∵Sn=1×22+2×23+3×24+…+n×2n+1①
①×2得：2Sn=1×23+2×24+3×25+…+n×2n+2②
①-②得：Sn=22+23+24+…+2n+1-n×2n+2=，
∴Sn=4+（n-1）×2n+2，
∴Sn-（8n2-4n）=4+（n-1）×2n+2-8n2+4n=（n-1）2n+2-4（2n+1）（n-1）=4（n-1）[2n-（2n+1）]
当n=1时，Sn-（8n2-4n）=0，即Sn=8n2-4n；
当n=2时，Sn-（8n2-4n）=4×（22-5）=-4，即Sn＜8n2-4n；
当n=3时，Sn-（8n2-4n）=4×2×（23-7）=8，即Sn＞8n2-4n；
当n＞3时，由指数函数的图象知总有2n＞（2n+1），
∴n＞3时，有Sn＞8n2-4n．