Question

已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，且在x轴上的顶点分别为A₁（-2，0），A₂（2，0）．
（1）求椭圆方程；
（2）若直线l：x=t（t＞2）与x轴交于点T，P为l上异于T的任一点，直线PA₁、PA₂分别与椭圆交于M、N两点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论．

Answer

（1）由题意得，，从而求得b、c的值，从而求得椭圆的方程．
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），把直线方程代入椭圆的方程解出M点、N点坐标，由直线A1M与直线A2N的交点P（t，yp）在直线l上，求出直线MN与x轴交点坐标，从而求得线MN是通过椭圆的焦点的条件．
【解析】
（1）由已知椭圆C的离心率，可得 ，
∴椭圆的方程为．
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），直线A1M斜率为k1，则直线A1M的方程为y=k1（x+2），
由，解得，∴M点坐标为（，）．
同理，设直线A2N的斜率为k2则N点坐标为（，）．
由直线A1M与直线A2N的交点P（t，yp）在直线l上，
又yp=k1（t+2），yp=k2（t-2），∴k1（t+2）=k2（t-2），∴．
又MN的方程为，令y=0，得  ．
即直线MN与x轴交点为，又t＞2，∴．
又椭圆右焦点为，故当 过椭圆的焦点．