Question

已知数列{a_n}满足：，且b_n=a_2n-2，n∈N^*
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）求证：数列{b_n}是等比数列，并求其通项公式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）情形下，设，设S_n=C₁+C₂+…+C_n，求证：S_n＜6．

Answer

（I）分别将n=2，3，4代入到an+1=中即可得到a2，a3，a4的值．
（II）根据bn=a2n-2，然后进行整理即可得到bn+1=bn，从而证明数列{bn}是等比数列，进而可求出数列{bn}的通项公式．
（III）先根据（2）中{bn}的通项公式求出Cn，然后利用错位相减法求得数列{Cn}的前n项和，进而求得Sn与6的大小．
【解析】
（Ⅰ），，（12分）
（Ⅱ）（5分）
=，又
∴数列{bn}是公比为的等比数列，且．（7分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）得，∴．
令．①
∴②
①-②得=∴．（13分）