Question

已知各项均为正数的数列{a_n}满足2a_n+1²+3a_n+1•a_n-2a_n²=0，n为正整数，且的等差中项，
（1）求数列{a_n}通项公式；
（2）若求使T_n+n•2ⁿ⁺¹＞125成立的正整数n的最小值．

Answer

（1）把2an+12+3an+1•an-2an2=0进行分解，可得，进而得到数列{an}是等比数列，并且公比为，结合的等差中项可得答案．
（2）由（1）可得Cn=-n•2n，利用错位相减法可得：Tn=（1-n）•2n-1-2，所以要使Tn+n•2n+1＞125成立，只要2n+1＞127即可，所以n≥6．
【解析】
（1）根据题意可得：2an+12+3an+1•an-2an2=0，
所以（an+1+2an）（2an+1-an）=0，
因为数列{an}各项均为正数，
所以，
所以数列{an}是等比数列，并且公比为．
因为的等差中项，
所以，即，
解得：．
所以数列{an}通项公式为．
（2）由（1）可得Cn=-n•2n，
所以Tn=-2-2×22-3×23-…-n×2n…①，
所以2Tn=-22-2×23-3×24…-（n-1）2n-n×2n+1…②
所以①-②并且整理可得：Tn=（1-n）•2n-1-2．
所以要使Tn+n•2n+1＞125成立，只要使2n+1-2＞125成立，即2n+1＞127，
所以n≥6，
所以使Tn+n•2n+1＞125成立的正整数n的最小值为6．