Question

已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x+4）-f（x）=2f（2），若y=f（x-1）的图象关于直线x=1对称，且f（1）=2，则f（2013）=（ ）
A．2
B．3
C．4
D．0

Answer

由函数f（x-1）的图象关于直线x=1对称，得y=f（x）关于x=0对称，即为偶函数根据；已知条件赋值可求f（2）=f（-2）=0，可得函数是以4为周期的周期函数，再由f（1）=2求f（2013）的值．
【解析】
∵函数f（x-1）的图象关于直线x=1对称，
∴由函数的图象的平移可知函数y=f（x）关于x=0对称，即函数为偶函数，
∵∀x∈R都有f（x+4）=f（x）+2f（2），
令x=-2可得，f（2）=f（-2）+2f（2）
∴f（-2）=-f（2）=f（2），∴f（2）=f（-2）=0
∴f（x+4）=f（x）即函数是以4为周期的周期函数，
∴f（2013）=f（4×503+1）=f（1）=2，
故选A．