Question

如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD=PA=2，，E、F分别是AB、PD的中点．
（Ⅰ）求证：平面PCE⊥平面PCD；
（Ⅱ）求四面体PEFC的体积．

Answer

（Ⅰ）由PA=AD=2，知AF=PD，由PA垂直于矩形ABCD所在的平面，知PA⊥CD，由AD⊥CD，知CD⊥平面PAD，由此能够证明平面PCE⊥平面PCD．
（Ⅱ）由GE⊥平面PCD，知EG为四面体PEFC的高，由GF∥CD，知GF⊥PD，由此能求出四面体PEFC的体积．
【解析】
（Ⅰ）∵PA=AD=2，∴AF=PD，
∵PA垂直于矩形ABCD所在的平面，CD⊂平面ABCD，
∴PA⊥CD，
∵AD⊥CD，PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，
∵AF⊂平面PAD，∴AF⊥CD，
∵PD∩CD=D，∴AF⊥平面PCD，
∴GE⊥平面PCD，
∵GE⊂平面PEC，∴平面PCE⊥平面PCD．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知GE⊥平面PCD，
∴EG为四面体PEFC的高，
又∵GF∥CD，∴GF⊥PD，
∵EG=AF=，GF=，，
∴四面体PEFC的体积V==．