Question

设函数．
（1）若k=0，求f（x）的最小值；
（2）若当x≥0时f（x）≥1，求实数k的取值范围．

Answer

（1）将k的值代入f（x），求出f（x）的导函数，令导函数大于0求出函数的单调递增区间，令导函数小于0求出函数的单调递减区间，求出函数的最小值．
（2）求出f（x）的导函数，再求出导函数的导数，通过对k的讨论，判断出二阶导数的符号，判断出f（x）的导函数的最值，从而判断出导函数的符号，得到f（x）的单调性，求出f（x）的最小值，令最小值大于1，列出不等式求出k的范围．
【解析】
（1）k=0时，f（x）=ex-x，
f'（x）=ex-1．
当x∈（-∞，0）时，f'（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0．
所以f（x）在（-∞，0）上单调减小，在（0，+∞）上单调增加
故f（x）的最小值为f（0）=1
（2）f'（x）=ex-kx-1，
f''（x）=ex-k
当k≤1时，f''（x）≥0（x≥0），
所以f'（x）在[0，+∞）上递增，
而f'（0）=0，
所以f'（x）≥0（x≥0），
所以f（x）在[0，+∞）上递增，
而f（0）=1，
于是当x≥0时，f（x）≥1．
当k＞1时，
由f''（x）=0得x=lnk
当x∈（0，lnk）时，f''（x）＜0，所以f'（x）在（0，lnk）上递减，
而f'（0）=0，于是当x∈（0，lnk）时，f'（x）＜0，所以f（x）在（0，lnk）上递减，
而f（0）=1，所以当x∈（0，lnk）时，f（x）＜1．
综上得k的取值范围为（-∞，1]．