Question

已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，PD⊥面ABCD，PD=2，E，F分别为BC，AD的中点，
（Ⅰ）求直线DE与面PBC所成角的正弦值；
（Ⅱ）求二面角P-BF-D的正切值．

Answer

（Ⅰ）取PC的中点N，连接DN，EN，由题意可得：PD⊥BC，所以得到BC⊥面PDC，即面PBC⊥面PDC，所以DN⊥面PBC，所以∠DEN为直线DE与面PBC所成的角，再结合解三角形的有关知识求出答案．
（Ⅱ）过D作DM⊥BF，交BF的延长线于M，连接PM，结合题意可得：∠PMD为二面角P-BF-D的平面角，再利用解三角形的有关知识求出二面角的正切值即可．
【解析】
（Ⅰ）取PC的中点N，连接DN，EN，
∵PD⊥面ABCD，
∴PD⊥BC，
又由题意有BC⊥DC，
∴BC⊥面PDC，
∴面PBC⊥面PDC，
又PD=DC可得DN⊥PC，
∴DN⊥面PBC，
所以∠DEN为直线DE与面PBC所成的角，…（4分）
由题意，
所以．…（7分）
（Ⅱ）过D作DM⊥BF，交BF的延长线于M，连接PM，
∵PD⊥面ABCD，所以PM在面ABCD内的射影为DM，
∴PM⊥BF，
所以∠PMD为二面角P-BF-D的平面角…（10分）
由Rt△DMF与Rt△BAF相似，
所以
所以…（13分）