Question

函数y=f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称．若实数x，y满足不等式f（x²-6x）+f（y²-8y+24）＜0，则x²+y²的取值范围是    ．

Answer

根据f（x）的图象关于点（0，0）对称．推断出函数f（x）为奇函数，根据函数为增函数及f（x2-6x）+f（y2-8y+24）＜0，可知x2-6x＜-y2+8y-24，化简得（x-3）2+（y-4）2＜1，求x2+y2的范围实际是求点（3，4）为圆心，以1为半径的圆内的点到原点的距离，进而得到答案．
【解析】
∵函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称．
∴函数f（x）为奇函数，
∵f（x2-6x）+f（y2-8y+24）＜0
∴f（x2-6x）＜-f（y2-8y+24）=f（-y2+8y-24）
∵函数f（x）为增函数
∴x2-6x＜-y2+8y-24
即：（x-3）2+（y-4）2＜1
x2+y2的范围则为以点（3，4）为圆心，以1为半径的圆内的点到原点的距离的平方．
∴16＜x2+y2＜36
故答案为：（16，36）