Question

设点P（m，n）在圆x²+y²=2上，l是过点P的圆的切线，切线l与函数y=x²+x+k（k∈R）的图象交于A，B两点，点O是坐标原点．
（1）当k=-2，m=-1，n=-1时，判断△OAB的形状；
（2）△OAB是以AB为底的等腰三角形；
①试求出P点纵坐标n满足的等量关系；
②若将①中的等量关系右边化为零，左边关于n的代数式可表为（n+1）²（ax²+bx+c）的形式，且满足条件的等腰三角形有3个，求k的取值范围．

Answer

（1）根据k=-2，m=-1，n=-1，以及切线l：-x-y=2，分别得到一个等式，通过两个等式联立解方程组求出两组解，此时即可表示出两个点A，B的坐标，然后分别根据垂直与腰相等两个关系判断出△OAB是等腰直角三角形
（2） ①写出过P的切线，然后分别设出A，B两个点的坐标．根据是已知题意列出3个等式，然后解出结果..通过P点纵坐标为n，代入P中求出n的等量关系．
    ②按照①的结果，通过把等量关系右边化为零，左边关于n的代数式表示为（n+1）2（ax2+bx+c）的形式，化简．然后根据满足条件的等腰三角形有3个，分别判断△＞0是否成立．经过计算分别求出K的取值范围即可．
【解析】
①当k=-2，m=-1，n=-1，
   时y=x2+x-2．
  切线l：-x-y=2，即x+y+2=0．
  由，
  得x2+2x=0，
∴x1=0，x2=-2．
  A（0，-2），B（-2，0）．
∵
∴△OAB是等腰直角三角形

②△OAB是以AB为底的等腰三角形⇔P是AB的中点．
过P点的切线：mx+ny=2．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则
（2）-（1）
y2-y1=（x2+x1）（x2-x1）+x2-x1
，

∵
4n4+4n3-6n2-8n-2=0
即2n4+2n3-3n2-4n-1=0．
由已知，2n4+2n3-3n2-4n-1
=（n+1）2（an2+bn+c）=（n2+2n+1）（an2+bn+c）
=an4+（b+2a）n3+（c+a+2b）n2+（2c+b）n+c
⇒，
即∴
由2n4+2n3-3n2-4n-1=（n+1）2（2n2-2n-1）=0
∴n+1=0或2n2-2n-1=0，

∴
由，
nx2+（m+n）x+nk-2=0
当
△=4-4k-8＞0，k＜-1．
当
由
当时，，

，

等腰三角形恰有3个等价于以上三个解都满足△＞0，
故