Question

过点P（1，0）作曲线C：y=x^k（x∈（0，+∞），k∈N^*，k＞1）的切线，切点为M₁，设M₁在x轴上的投影是点P₁；又过点P₁作曲线C的切线，切点为M₂，设M₂在x轴上的投影是点P₂；…；依此下去，得到一系列点M₁，M₂，…M_n，…；设它们的横坐标a₁，a₂，…，
a_n…构成数列为{a_n}．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）当k=2时，令，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer

（Ⅰ）对y=xk求导数，得y′=kxk-1，切点是Mn（an，ank）的切线方程是y-ank=kank-1（x-an）．当n=1时，；当n＞1时，得．由此能求出数列{an}的通项公式．
（ II）应用二项式定理，得．
（ III）当k=2时，an=2n，数列{bn}的前n项和Sn=，利用错位相减法能够得到Sn=．
【解析】
（Ⅰ）对y=xk求导数，
得y′=kxk-1，
点是Mn（an，ank）的切线方程是y-ank=kank-1（x-an）．…（2分）
当n=1时，切线过点P（1，0），
即0-a1k=ka1k-1（1-a1），
得；
当n＞1时，切线过点Pn-1（an-1，0），
即0-ank=kank-1（an-1-an），
得．
所以数列{an}是首项，公比为的等比数列，
所以数列{an}的通项公式为．…（4分）
（ II）应用二项式定理，得．…（8分）
（ III）当k=2时，an=2n，
数列{bn}的前n项和Sn=，
同乘以，得=，
两式相减，…（10分）
得=，
所以Sn=．…（12分）