Question

过抛物线y²=2x的焦点作一条直线与抛物线交于两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线（ ）
A．有且只有一条
B．有且只有两条
C．有且只有三条
D．有且只有四条

Answer

过抛物线y2=2x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，先看直线AB斜率不存在时，横坐标之和等于1，不适合；若直线斜率存在时，利用横坐标之和等于2，进而设直线AB为y=k（x-1）与抛物线方程联立消去y，进而根据伟大定理表示出A、B两点的横坐标之和，进而求得k．得出结论．
【解析】
过抛物线y2=2x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，
若直线AB的斜率不存在，则横坐标之和等于1，不适合．
若直线斜率存在时，设直线AB的斜率为k，则直线AB为y=k（x-）
代入抛物线y2=2x得，k2x2-（k2+2）x+k2=0
∵A、B两点的横坐标之和等于2，
∴，k2=2，k=±
则这样的直线有且仅有两条，
故选B．