已知函数（1）求函数f（x）的极值；（2）若函数y=f（x）的图象与直线y=...

已知函数

（1）求函数f（x）的极值；
（2）若函数y=f（x）的图象与直线y=0恰有三个交点，求实数a的取值范围；
（3）已知不等式f'（x）＜x²-x+1对任意a∈（1，+∞）都成立，求实数x的取值范围．

（1）讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值．（2）先求出极大值与极小值，要使函数y=f（x）的图象与值线y=0恰有三个交点，则函数y=f（x）的极大值大于零，极小值小于零即可．（3）先进行化简，然后变量分离，转化成对任意a∈（1，+∞）都成立，则x大于的最大值，利用基本不等式研究函数的最大值，求出变量x的范围即可．【解析】（1）∵f′（x）=x2-ax-2a2，令f′（x）=x2-ax-2a2=0，则 x=-a或x=2a f′（x）=x2-ax-2a2＞0时，x＜-a或x＞2a x=-a时，f（x）取得极大值f（-a）=，x=2a时，f（x）取极小值 f（2a）= （2）要使函数y=f（x）的图象与值线y=0恰有三个交点，则函数y=f（x）的极大值大于零，极小值小于零，由（1）的极值可得解之得（3）要使f′（x）＜x2-x+1对任意a∈（1，+∞）都成立即x2-ax-2a2＜x2-x+1，（1-a）x＜2a2+1 ∵a∈（1，+∞）∴1-a＜0 对任意a∈（1，+∞）都成立，则x大于的最大值 ∵ 由a∈（1，+∞），，当且仅当时取等号，∴ 故

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等

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