Question

已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞-2x的解集为（1，3）．
（1）若方程f（x）+6a=0有两个相等的实数根，求f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）=xf（x）无极值，求实数a的取值范围．

Answer

（1）根据函数模型设出函数的解析式，根据不等式的解集建立两个等量关系，然后根据方程f（x）+6a=0有两个相等的实数根，利用判别式等于零建立等量关系，解三元一次方程组即可；
（2）先将函数g（x）中的字母都有a表示，研究函数的导数g'（x），根据g（x）无极值，得到方程g'（x）=0无实根或有两个相等实根，建立关系式解之即可．
【解析】
（1）设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），∵不等式f（x）＞-2x的解集为（1，3），所以a＜0
∴f（1）=a+b+c=-2①f（3）=9a+3b+c=-6②
又∵f（x）+6a=ax2+bx+c+6a=0有两等根，∴△=b2-4a（c+6a）=0③
由①②③解得（5分）
又∵f（x）＞-2x的解集为（1，3），
∴．∴（7分）
（2）由①②得b=-2-4a，c=3a，∴g（x）=ax3+（-2-4a）x2+3ax，g'（x）=3ax2+2（-2-4a）x+3a（9分）
∵g（x）无极值，∴方程g'（x）=0无实根或有两个相等实根，则，
解得（12分）