Question

在数列，S_n是数列{a_n}的前n项和．当n≥2且n∈N^*时，S_n+1（S_n+1-2S_n）+（2S_n-S_n-1）S_n-1=1，令．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）试用n和b_n表示b_n+1；
（3）若b₁=1，n∈N^*，证明：．

Answer

（1）由Sn+1（Sn+1-2Sn）+（2Sn-Sn-1）Sn-1=1化简可得数列{an2}是首项为1，公差为1的等差数列，求出通项公式开方可得数列{an}的通项公式；
（2）根据bn的通项公式得到bn+1的通项，然后相减得，移项化简可得bn+1；
（3）当n=1时，不等式成立；当n≥2时，列举bn各项化简不等式的左边，然后当k≥2时，利用即可得证．
【解析】
（1）由Sn+1（Sn+1-2Sn）+（2Sn-Sn-1）Sn-1=1
得（Sn+1-Sn）2-（Sn-Sn-1）2=1，即an+12-an2=1（n≥2，n∈N*）
∴数列{an2}是首项为1，公差为1的等差数列
于是，∴

（2）当n≥2时，∵
∴．
∴∴

（3）当n=1时，，不等式成立；
当n≥2时，由（1）得
∴
又当k≥2时，
∴
于是当n≥2时，
综上所述，对一切n∈N*，不等式都成立．