Question

如图ABCD是一个直角梯形，其中AB∥DC，AB⊥BC，CD=2BC=2AB=4，过点A作CD的垂线AE，垂足为点E，现将△ADE折起，使二面角D-AE-C的大小是120°．
（1）求证：平面BCD⊥平面CED；
（2）求二面角A-CD-E的大小．

Answer

（1）先证AE⊥平面CED，再利用BC∥AE⇒BC⊥平面CED⇒平面BCD⊥平面CED；
（2）先由已知知道∠CED=120°．再过点E作EF垂直CD且交于点F，则∠AFE是二面角A-CD-E的平面角，然后在△AFE中求出∠AFE即可．
【解析】
（1）证明：因为AE⊥CE，AE⊥DE，CE∩DE=E，所以AE⊥平面CED．
又因为BC∥AE，
∴BC⊥平面CED，BC⊂面BCD，
∴平面BCD⊥平面CED；（6分）
（2）∵AE⊥CE，AE⊥DE，
∴∠CED为二面角D-AE-C的平面角，
∴∠CED=120°．
过点E作EF垂直CD且交于点F，
连接AF，∵AE⊥平面CED，∴AF在面CED上的射影为EF，得到AF⊥CD，
所以∠AFE是二面角A-CD-E的平面角，（9分）
EF=2sin30°=1，，（11分）
二面角A-CD-E大小是arctan2．（12分）