Question

已知双曲线，过点P（1，1）作直线l，使l与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有    条．

Answer

先确定双曲线的右顶点，进而根据图形可推断出当l垂直x轴时与C相切，与x轴不垂直且与C相切，与渐近线平行且与C较与1点（两种情况）满足l与C有且只有一个公共点．
【解析】
根据双曲线方程可知a=1
∴右顶点为（1，0），使l与C有且只有一个公共点的情况为：
①当l垂直x轴时，此时过P（1，1）的直线方程为x=1，与双曲线C只要一个公共点
②当l与x轴不垂直时，可设直线方程为y-1=k（x-1）
联立方程可得（4-k2）x2+2k（k-1）x-（k2-2k+5）=0
（i）当4-k2=0即k=±2时，方程只有一个根，此时直线与双曲线只有一个公共点
（ii）当4-k2≠0时，△=4k2（1-k）2+4（4-k2）（k2-2k+5）=0，整理可得2k-5=0即k=
故答案为：4