Question

设f（x）=-x³+ax²+bx+c（a＞0），在x=1处取得极大值，且存在斜率为的切线．
（1）求a的取值范围；
（2）若函数y=f（x）在区间[m，n]上单调递增，求|m-n}的取值范围；
（3）是否存在a的取值使得对于任意x∈（-∞，0]，都有f（x）≥0．

Answer

（1）先求出函数的导函数f'（x），然后根据极值的定义和导数的几何意义建立方程组，解之即可求出a的取值范围；
（2）先求出f′（x）=0的值，再利用列表法讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极大值．
（2）由（1）得f（x）的单调增区间为（-1，1）从而|x1-x2|=2-∈[，2）由此得到|m-n|的取值范围；
（3）方法一：利用f（x）的单调性得出f（x）在（-∞，0]上的最小值就是f（x）在R上的极小值，由f（x）min=f（-1）=-+3a-2+c≥c，设g（a）=-+3a+1，利用导数研究它的单调性求出其最小值，从而得出不存在a的取值，使f（x）≥c恒成立；
方法二：f（x）≥c 等价于-x3+ax2+bx≥0，x∈（-∞，0]，先对x进行分类讨论：当x=0时，不等式恒成立；当x∈（-∞，0）时，上式等价于x2-ax-b≥0分离参数得a≥=x-2++4，即可得出结论．
【解析】
（1）f′（x）=3x2+2ax+b，
∴f′（1）=-3+2a+b=0，∴b=3-2a
f′（x）=-3（x-1）[x-（-1）]=0，解得x1=1，x2=-1
∵f（x）在x=1处有极大值，
则-1＜1，
∴a＜3
又f'（x）-=0有实根，a≤1或a≥5，
∴0＜a≤1（4分）
（2）f（x）的单调增区间为（-1，1）
则|x1-x2|=2-∈[，2）
[m、n]⊆[x1，x2]
∴|m-n|∈（0，2）（8分）
（3）（方法一）由于f（x）在（-∞，-1）上是减函数，
在（-1，1）上是增函数．
在（1，+∞）上是减函数，而x∈（-∞，0），
且-1∈（-1，]．
f（x）在（-∞，0]上的最小值就是f（x）在R上的极小值．
f（x）min=f（-1）=-+3a-2+c≥c，
得g（a）=）=-+3a+1，
g′（a）=-a+3=（x-）（a-），在[，1]上单调递增．
∴g（a）min=g（）=-+-2＞0，不存在．
依上，不存在a的取值，使f（x）≥c恒成立．（14分）
（方法二）f（x）≥c 等价于-x3+ax2+bx+c≥c
即-x3+ax2+bx≥0，x∈（-∞，0]
当x=0时，不等式恒成立；
当x∈（-∞，0）时，上式等价于x2-ax-b≥0
即x2-ax-3+2a≥0，x2-3≥（x-2）a
a≥=x-2++4
g（x）=+x-2+4在（-∞，0）上递增
所以g（x）＜-2+4=2即a＞2
而0＜a≤1，故不存在．（14分）