Question

已知数列{a_n}的首项a₁=2，a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹，（n∈N^*，n≥1）
（Ⅰ）证明：数列{}为等差数列；
（Ⅱ）设数列{a_n}的前n项和为S_n，求S_n．

Answer

（Ⅰ）要证明数列为等差数列，可求出的差为定值即为等差数列得证；
（Ⅱ）根据第一问得到数列的公差，然后利用的值即为首项，求出的通项公式即可得到an的通项，然后根据列举出an的各项和，利用错位相减法及等比数列的求和公式求出sn即可．
【解析】
（Ⅰ）∵
∴数列{}为等差数列
（Ⅱ）∵，∴，∴an=n•2n
所以sn=2+2×22+3×23+…+n2n…①，
两边都乘以2得：2sn=22+2×23+3×24+…+（n-1）2n+n2n+1…②
①-②得：-sn=2+22+23+…+2n-n2n+1=-n2n+1，
解得Sn=（n-1）•2n+1+2．