Question

已知函数f（x）=lnx-ax．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值，
（Ⅱ）已知过点P（1，f（1）），Q（e，f（e））的直线为l，则必存在x∈（1，e），使曲线y=f（x）在点（x，f（x））处的切线与直线l平行，求x的值，
（Ⅲ）已知函数g（x）图象在[0，1]上连续不断，且函数g（x）的导函数g'（x）在区间（0，1）内单调递减，若g（1）=0，试用上述结论证明：对于任意x∈（0，1），恒有g（x）＞g（0）（1-x）成立．

Answer

（I）由题意先对函数f（x）=lnx-ax求其导函数，并利用导函数分析单调性并求其极值；
（II）利用已知直线上两点写出其斜率的式子，再利用导数的几何含义写出直线的斜率，进而建立方程求解即可；
（III）利用（II）的结论实质，依照题意即可求证结论．
【解析】
（Ⅰ）f'（x）=（x＞0）
①若a≤0，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，此时f（x）不存在极值．
②若a＞0令f'（x）=0得x=，
当x∈时，f′（x）＞0，此时函数f（x）在此区间上单调递增；
当x∈时，f′（x）＜0，此时函数f（x）在此区间上单调递减；
∴f（x）极大值=
综上：当a≤0时，f（x）没有极大值，当a＞0时，f（x）极大值=-lna-1．
（Ⅱ）直线l的斜率k=，
∵x∈（1，e），
依题意有f'（x）=-a+即
得x=e-1∈（1，e），
故x=e-1
（Ⅲ）①f'（x）=或
由以上结论得：对区间[0，x]存在x1∈[0，x]使g'（x1）=
同样对区间[x，1]存在x2∈[x，1]使g'（x2）=
依题意得：g'（x1）＞g'（x2）即＞
化简得g（x）＞g（0）（1-x）成立．