Question

已知函数f（x）的导数f′（x）=3x²-3ax，f（0）=b．a，b为实数，1＜a＜2．
（Ⅰ）若f（x）在区间[-1，1]上的最小值、最大值分别为-2、1，求a、b的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求经过点P（2，1）且与曲线f（x）相切的直线l的方程；
（Ⅲ）设函数F（x）=（f′（x）+6x+1）•e^2x，试判断函数F（x）的极值点个数．

Answer

（Ⅰ）由函数的导数可确定f（x）的表达式，先确定函数在区间[-1，1]上的单调性，从而确定了最值建立了关于a，b的方程，即可求得其值．（Ⅱ）由（Ⅰ）得到了函数的解析式，确定点P（2，1）的位置：在函数的图象上，对P是否为切点讨论，利用导数求切线的斜率，可得切线方程．（Ⅲ）先求出F'（x），通过对其符号的探讨得函数的单调性，从而确定极值点的个数．
【解析】
（Ⅰ）由已知得，
由f'（x）=0，得x1=0，x2=a．∵x∈[-1，1]，1＜a＜2，
∴当x∈[-1，0）时，f'（x）＞0，f（x）递增；
当x∈（0，1]时，f'（x）＜0，f（x）递减．
∴f（x）在区间[-1，1]上的最大值为f（0）=b，∴b=1．
又，，
∴f（-1）＜f（1）．，即，得．
故，b=1为所求．

（Ⅱ）【解析】
由（1）得f（x）=x3-2x2+1，f'（x）=3x2-4x，点P（2，1）在曲线f（x）上．
（1）当切点为P（2，1）时，切线l的斜率k=f'（x）|x=2=4，
∴l的方程为y-1=4（x-2），即4x-y-7=0．
（2）当切点P不是切点时，设切点为Q（x，y）（x≠2），
切线l的斜率，
∴l的方程为y-y=（3x2-4x）（x-x）．
又点P（2，1）在l上，∴1-y=（3x2-4x）（2-x），
∴1-（x3-2x2+1）=（3x2-4x）（2-x），
∴x2（2-x）=（3x2-4x）（2-x），
∴x2=3x2-4x，即2x（x-2）=0，∴x=0．∴切线l的方程为y=1．
故所求切线l的方程为4x-y-7=0或y=1．
（或者：由（1）知点A（0，1）为极大值点，
所以曲线f（x）的点A处的切线为y=1，恰好经过点P（2，1），符合题意．）

（Ⅲ）【解析】
F（x）=（3x2-3ax+6x+1）•e2x=[3x2-3（a-2）x+1]•e2x．
∴F'（x）=[6x-3（a-2）]•e2x+2[3x2-3（a-2）x+1]•e2x=[6x2-6（a-3）x+8-3a]•e2x．
二次函数y=6x2-6（a-3）x+8-3a的判别式为△=36（a-3）2-24（8-3a）=12（3a2-12a+11）=12[3（a-2）2-1]，
令△≤0，得：．
令△＞0，得．
∵e2x＞0，1＜a＜2，
∴当时，F'（x）≥0，函数F（x）为单调递增，极值点个数为0；
当时，此时方程F'（x）=0有两个不相等的实数根，根据极值点的定义，可知函数F（x）有两个极值点．