Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=pⁿ+q（p≠0，q≠1），则“q=-1”是“数列{a_n}是等比数列”的（ ）
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件

Answer

先求出a1的值，再由n≥2时，an=Sn-Sn-1=（p-1）•pn-1进而可判定n≥2时，{an}是等比数列，最后再验证当n=1时q=-1时可满足，{an}是等比数列，从而{an}是等比数列的必要条件是p≠0且p≠1且q=-1；反之，q=-1时，当p=0或p=-1时，{an}不是等比数列；利用充要条件的定义得到结论．
【解析】
当n=1时，a1=S1=p+q；
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（p-1）•pn-1．
当p≠0，p≠1，
∴当n≥2时，{an}是等比数列．要使{an}（n∈N*）是等比数列，
则 =p，即（p-1）•p=p（p+q），
∴q=-1，
即{an}是等比数列的必要条件是p≠0且p≠1且q=-1．
反之，q=-1时，Sn=pn-1，
an=（p-1）•pn-1，
因为p=1时，{an}不是等比数列
所以“q=-1”是“数列{an}为等比数列”的必要不充分条件．
故选B．