Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E在棱CC₁的延长线上，且．
（I）求证：D₁E∥平面ACB₁；
（II）求证平面D₁B₁E⊥平面DCB₁；
（III）求平面ACB₁与平面D₁B₁E所成（锐）二面角的余弦值．

Answer

（I）连接DC1，欲证D1E∥平面ACB1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证D1E与平面平面ACB1内一直线平行，而D1E∥AB1，AB1⊂平面ACB1，D1E⊄平面ACB1，满足定理条件；
（II）连接AD1、DA1，欲证平面AD1EB1⊥平面A1B1CD，根据面面垂直的判定定理可知在平面AD1EB1内一直线与平面A1B1CD垂直，而根据题意可得AD1⊥平面A1B1CD，AD1⊂平面AD1EB1，满足定理条件．
（Ⅲ）以D为坐标原点，建立坐标系，分别求出面ACB1，面D1B1E的一个法向量，利用两法向量夹角间接计算平面ACB1与平面D1B1E所成（锐）二面角的余弦值．
【解析】
（I）证明：连接DC1，因为ABCD-A1B1C1D1是长方体，且CC1=C1E，
所以DD1∥C1E且DD1=C1E，DD1EC1是平行四边形，DC1∥D1E．
又因为AD∥B1C1且AD=B1C1，ADC1B1是平行四边形，DC1∥AB1，
所以D1E∥AB1．
因为AB1⊂平面ACB1，D1E⊄平面ACB1，
所以D1E∥平面ACB1．
（II）证明：连接AD1、DA1，则平面DCB1即平面A1B1CD，由①D1E∥AB1，知平面D1B1E即平面AD1EB1．
因为ABCD-A1B1C1D1是长方体，CD⊥平面ADD1A1，
所以CD⊥AD1．矩形ADD1A1中，AD=DD1，
所以A1D⊥AD1，又A1D∩CD=D，
所以AD1⊥平面A1B1CD，AD1⊂平面AD1EB1，
所以平面AD1EB1⊥平面A1B1CD．
（Ⅲ）以D为坐标原点，建立如图所示的坐标系，

则A （1，0，0）C （0，2，0）B1 （1，2，1），=（-1，2，0）=（0，2，1）
设面ACB1的一个法向量是=（x1，y1，z1），则
∴取z=-2，则=（2，1，-2），
D1（0，0，1）E（0，2，2）=（0，2，1），=（-1，0，1）
设面D1B1E的一个法向量是=（x2，y2，z2）则
∴取z=2，则=（2，-1，2）
设平面ACB1与平面D1B1E所成（锐）二面角的平面角是θ，则cosθ=