Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+1（x∈R），a，b∈R．函数f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线方程为y=x+4．
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）若函数f（x）在区间上是单调函数，求实数k的取值范围．

Answer

（I）求出导函数，令导函数在1处的值为1，函数经过（1，f（1）），列出方程组求出a，b的值，得到函数的解析式．
（Ⅱ）求出函数的导数，通过导数为0，求出函数的极值点，求出函数的单调区间，推出k的范围即可．
【解析】
（I）函数f（x）=x3+ax2+bx+1（x∈R），a，b∈R．函数f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线方程为y=x+4．
所以f′（x）=3x2+2ax+b，所以f′（1）=3+2a+b=1…①，函数经过（1，f（1）），即：5=1+a+b+1…②；
解①②得：a=-5，b=8；
所以函数的解析式为：f（x）=x3-5x2+8x+1．
（Ⅱ）由（1）可知f′（x）=3x2-10x+8，令3x2-10x+8=0，即x=2，x=，当x时函数是增函数，时函数是减函数，x＞2时，函数是增函数，函数f（x）在区间上是单调函数，
所以k或k=或k≥2时，满足题意．