Question

现有一组互不相同的从小到大排列的数据：a，a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，其中a=0．为提取反映数据间差异程度的某种指标，今对其进行如下加工：记，作函数y=f（x），使其图象为逐点依次连接点P_n（x_n，y_n）（n=0，1，2，…，5）的折线．
（I）求f（0）和f（1）的值；
（II）设P_n-1P_n的斜率为k_n（n=1，2，3，4，5），判断k₁，k₂，k₃，k₄，k₅的大小关系；
（III）证明：当x∈（0，1）时，f（x）＜x．

Answer

（I）直接根据定义即可得到f（0）和f（1）的值；
（II）先根据两点式写出直线的斜率，再根据a，a1，a2，a3，a4，a5，是按从小到大的顺序排列即可得到结论；
（III）由于f（x）的图象是连接各点Pn（xn，yn）（n=0，1，…，5）的折线，把问题转化为证明f（xn）＜xn（n=1，2，3，4）；再对f（x）的表达式进行放缩即可得到结论．
【解析】
（I）【解析】
f（0）==0，
f（1）==1．
（II）【解析】
kn=，n=1，2，…，5，
因为a1＜a2＜a3＜a4＜a5，
所以k1＜k2＜k3＜k4＜k5．
（III）证明：由于f（x）的图象是连接各点Pn（xn，yn）（n=0，1，…，5）的折线，
要证明f（x）＜x（0＜x＜1），只需证明f（xn）＜xn（n=1，2，3，4）．
事实上，当x∈（xn-1，xn）时，
f（x）=（x-xn-1）+f（xn-1）
=f（xn-1）+f（xn）
＜+=x．
下面证明f（xn）＜xn．
对任何n（n=1，2，3，4），
5（a1+…+an）=[n+（5-n）]（a1+…+an）
=n（a1+…+an）+（5-n）（a1+…+an）
≤n（a1+…+an）+（5-n）nan=n[a1+…+an+（5-n）an]
＜n（a1+…+an+an+1+…+a5）=nT．
所以f（xn）=＜=xn．