Question

如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是边长为2的正方形，AA₁⊥底面ABCD，
AA₁=3，点E在棱CC₁上，点F是棱C₁D₁的中点
（1）当AF∥平面BDE时，求CE的长；
（2）当CE=1时，求二面角A₁-BE-D的余弦值．

Answer

（1）以D为原点，DA，DC，DD1，分别为X，Y，Z轴，分别求出各点的坐标，进而求出直线AF的方向向量及平面BDE的法向量，代入线面夹角向量法公式，即可得到满足条件的E的坐标，进而求出答案．
（2）求出平面A1BE的一个法向量的坐标及平面BDE的一个法向量的坐标，代入二面角向量法公式，即可得到二面角A1-BE-D的余弦值．
【解析】
（1）建立如图所示空间直角坐标系，
D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0）F（0，1，2），A1（2，0，2），B1（2，2，2），C1（0，2，2）（2分）
（1）设CE=a，则E（0，2，a）
设是平面BDE的一个法向量，，
，（4分）
又，又，（6分）
（2）设是平面A1BE的法向量，，（8分）
又，，（11分）
所以二面角A1-BE-D的余弦值为（12分）