Question

已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，A为椭圆短轴的一个顶点，且△AF₁F₂是直角三角形，椭圆上任一点P到左焦点F₁的距离的最大值为
（1）求椭圆C的方程；
（2）与两坐标轴都不垂直的直线l：y=kx+m（m＞0）交椭圆C于E，F两点，且以线段EF为直径的圆恒过坐标原点，当△OEF面积的最大值时，求直线l的方程．

Answer

（1）由题意得，b=c，，，，解方程求出a、b、c的值，即得椭圆的方程．
 （2）把直线方程代入椭圆的方程，利用根与系数的关系以及，即x1x2+y1y2=0，求得
，代入△OEF的面积公式换元后使用基本不等式可得面积S的最大值及此时的m、k的值．
【解析】
（1）由题意得，b=c，，，
∴，则b=1． 所以，椭圆的方程为．
（2）设E（x1，y1），F（x2，y2），，
联立得（1+2k2）x2+4mkx+2m2-2=0，∴△=8（2k2+1-m2）＞0，，
又以线段EF为直径的圆恒过坐标原点，所以，，
即x1x2+y1y2=0，代入得   ，
△OEF的面积=，
设t=1+2k2＞1，则 ，
当t=2，即时，面积S取得最大值，
此时，m=1，所以，直线方程为．