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已知椭圆(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,A为椭圆短轴的一个顶点,且△...

已知椭圆manfen5.com 满分网(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,A为椭圆短轴的一个顶点,且△AF1F2是直角三角形,椭圆上任一点P到左焦点F1的距离的最大值为manfen5.com 满分网
(1)求椭圆C的方程;
(2)与两坐标轴都不垂直的直线l:y=kx+m(m>0)交椭圆C于E,F两点,且以线段EF为直径的圆恒过坐标原点,当△OEF面积的最大值时,求直线l的方程.
(1)由题意得,b=c,,,,解方程求出a、b、c的值,即得椭圆的方程.  (2)把直线方程代入椭圆的方程,利用根与系数的关系以及,即x1x2+y1y2=0,求得 ,代入△OEF的面积公式换元后使用基本不等式可得面积S的最大值及此时的m、k的值. 【解析】 (1)由题意得,b=c,,, ∴,则b=1. 所以,椭圆的方程为. (2)设E(x1,y1),F(x2,y2),, 联立得(1+2k2)x2+4mkx+2m2-2=0,∴△=8(2k2+1-m2)>0,, 又以线段EF为直径的圆恒过坐标原点,所以,, 即x1x2+y1y2=0,代入得   , △OEF的面积=, 设t=1+2k2>1,则 , 当t=2,即时,面积S取得最大值, 此时,m=1,所以,直线方程为.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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