Question

已知函数f（x）=x²ln（ax）（a＞0）
（1）若f′（x）≤x²对任意的x＞0恒成立，求实数a的取值范围；
（2）当a=1时，设函数，若，求证x₁x₂＜（x₁+x₂）⁴．

Answer

（1）先求出导数：f'（x）=2xln（ax）+x欲使得f'（x）=2xln（ax）+x≤x2，即2lnax+1≤x在x＞0上恒成立，设u（x）=2lnax+1-x再利用导数研究此函数的最大值，即可求得实数a的取值范围；
（2）当a=1时，，利用导数得到g（x）在上g（x）是增函数，上是减函数从而得出，同理两式相加化简即可证得结论．
【解析】
（1）f'（x）=2xln（ax）+x（1分）f'（x）=2xln（ax）+x≤x2，即2lnax+1≤x在x＞0上恒成立
设u（x）=2lnax+1-x，x＞2时，单调减，
x＜2单调增，所以x=2时，u（x）有最大值u（2）（3分）
u（2）≤0，2ln2a+1≤2，所以（5分）
（2）当a=1时，，，
所以在上g（x）是增函数，上是减函数（6分）
因为，所以g（x1+x2）=（x1+x2）ln（x1+x2）＞g（x1）=x1lnx1
即
同理（8分）
所以
又因为，当且仅当“x1=x2”时，取等号（10分）
又，ln（x1+x2）＜0（11分）
所以
所以lnx1+lnx2＜4ln（x1+x2）
所以：x1x2＜（x1+x2）4（12分）