Question

已知f（x）=3^x-b（2≤x≤4，b为常数）的图象经过点（2，1），则F（x）=[f^-1（x）]²-f^-1（x²）的值域为     ．

Answer

由f（x）=3x-b（2≤x≤4，b为常数）的图象经过点（2，1），可求出b的值，再求出f（x）的反函数，整理出F（x）的解析式，利用换元法求最值即可．
【解析】
由题意：f（2）=32-b=1，所以b=2，所以f（x）=3x-2，所以f-1（x）=2+log3x，
因为f（x）中2≤x≤4，所以2＜f-1（x）＜4，所以0＜log3x＜2
F（x）=[f-1（x）]2-f-1（x2）=（2+log3x）2-2-log3x2=（log3x）2+2log3x+2
因为0＜log3x＜2，所以F（x）∈[2，10]
故答案为：[2，10]