Question

已知函数f（x）=（x²+bx+c）e^x在点P（0，f（0））处的切线方程为2x+y-1=0．
（1）求b，c的值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）求函数y=f（x）（x∈R）的值域．

Answer

（1）欲求b，c的值，根据所给的切线方程，只须求出切线斜率即可，故先利用导数求出在x=-0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率进而得切线方程，最后与所给的方程比较即得b，c的值．
（2）先确定（1）求得的函数的定义域然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；
（3）欲求函数y=f（x）（x∈R）的值域，先研究函数在区间上的最值问题，可先求出函数的极值，结合函数的单调性，最后确定出最大值与最小值即可．
【解析】
（1）f′（x）=[x2+（b+2）x+b+c]•ex
∵f（x）在点P（0，f（0））处的切线方程为2x+y-1=0．
∴
（2）由（1）知：f（x）=（x2-3x+1）•ex，
f′（x）=（x2-x-2）•ex=（x-2）（x+1）•ex

∴f（x）的单调递增区间是：（-∞，-1）和（2，+∞），f（x）的单调递减区间是：（-1，2）．
（3）由（2）知：当x=-1时，f（x）取极大值
当x=2时，f（x）取极小值f（2）=-e2
且当x→+∞时，f（x）→+∞；又当x＜0时，f（x）＞0，
所以f（x）的值域为[-e2，+∞）．（13）