Question

已知曲线x²+y²-4x-2y-k=0表示的图象为圆．
（1）若k=15，求过该曲线与直线x-2y+5=0的交点，且面积最小的圆的方程．
（2）若该圆关于直线x+y-4=0的对称圆与直线6x+8y-59=0相切，求实数k的值．

Answer

（1）先设圆心A坐标并把k代入已知方程配方后求A的坐标，由A在x-2y+5=0上时此圆的面积最小，两个圆心的连线与直线垂直，利用斜率之积等于-1和A在直线上列出方程组求圆心的坐标，再利用弦心距、半径和弦的一半关系求出半径；
（2）根据两个圆心关于直线对称关系，求出对称圆心的坐标，再由对称圆与6x+8y-59=0相切，即圆心到直线的距离等于半径求出圆的半径r，即再求出k．
【解析】
（1）设所求圆的圆心坐标为A（x，y）
当k=15时，代入x2+y2-4x-2y-k=0，化简得（x-2）2+（y-1）2=20，
∴圆心B（2，1），到直线x-2y+5=0的距离为=，
当相交弦为所求圆的直径时，圆的面积最小，即圆心A在直线x-2y+5=0上；
则，解得，
∴所求圆的方程为：（x-1）2+（y-3）2=15
（2）设圆心B（2，1）关于y=-x+4的对称圆的圆心为C（x，y），
∴，解得x=3，y=2；则 C（3，2）
∵对称圆C与直线6x+8y-59=0相切，
∴点（3，2）到6x+8y-59=0的距离为
即
由x2+y2-4x-2y-k=0得
解得，